Question

3．已知圓C的方程為（x-1）²+（y-2）²=4．
（Ⅰ）求過點(diǎn)M（3，1）的圓C的切線方程；
（Ⅱ）若直線ax-y+4=0與圓C交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=2$\sqrt{3}$，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圓的方程找出圓心坐標(biāo)與半徑，分兩種情況考慮：若切線方程斜率不存在，直線x=3滿足題意；若斜率存在，設(shè)出切線方程，根據(jù)直線與圓相切時(shí)圓心到切線的距離d=r，求出k的值，綜上即可確定出滿足題意的切線方程；
（Ⅱ）求出圓心到直線的距離為1，利用點(diǎn)到直線的距離公式建立方程，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由圓的方程得到圓心（1，2），半徑r=2，
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程x=3與圓相切；
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y-1=k（x-3），即kx-y+1-3k=0，
由題意得：$\frac{|k-2+1-3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
解得：k=$\frac{3}{4}$，
∴方程為y-1=$\frac{3}{4}$（x-3），即3x-4y-5=0，
則過點(diǎn)M的切線方程為x=3或3x-4y-5=0；
（Ⅱ）∵|AB|=2$\sqrt{3}$，
∴圓心到直線的距離為1，
∴$\frac{|a-2+4|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=1，∴a=-$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：點(diǎn)到直線的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用了分類討論的思想，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．