Question

18．如圖，三棱錐S-ABC，E、F分別在線段AB、AC上，EF∥BC，△ABC、△SEF均是等邊三角形，且平面SEF⊥平面ABC，若BC=4，EF=a，O為EF的中點．
（Ⅰ）當a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，求三棱錐S-ABC的體積．
（Ⅱ）a為何值時，BE⊥平面SCO．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由△SEF為等邊三角形，且O為EF的中點，得SO⊥EF，再由已知得SO⊥平面ABC，通過求解等邊三角形得到底面三角形ABC的面積，再求出SO，代入三棱錐體積公式求得三棱錐S-ABC的體積；
（Ⅱ）連接AO并延長，交BC與G，則AG⊥BC，通過平行線截線段成比例定理求得OG=$2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}a$，分別以AG、EF、OS所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，利用
BE⊥OC，得$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{OC}=（\frac{\sqrt{3}}{2}a-2\sqrt{3}，2-a，0）•$$（2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}a，2，0）$=0，求解關(guān)于a的方程可得BE⊥平面SCO時的a值．

解答 解：（Ⅰ）如圖，
∵△SEF為等邊三角形，且O為EF的中點，∴SO⊥EF，
又平面SEF⊥平面ABC，且平面SEF∩平面ABC=EF，
∴SO⊥平面ABC，
在等邊三角形ABC中，由BC=4，得${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×4×\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}=4\sqrt{3}$，
在等邊三角形SEF中，由EF=a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$SO=\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}}=\frac{3}{4}$，
∴${V}_{S-ABC}=\frac{1}{3}×4\sqrt{3}×\frac{3}{4}=\sqrt{3}$；
（Ⅱ）連接AO并延長，交BC與G，則AG⊥BC，
由EF∥BC，得$\frac{AO}{AG}=\frac{a}{4}$，∴AO=$\frac{a}{4}AG=\frac{a}{4}\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
則OG=AG-AO=$2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
分別以AG、EF、OS所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系如圖，
則O（0，0，0），C（$2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}a$，2，0），
E（0，-a，0），B（$2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}a$，-2，0），
若BE⊥平面SCO，
∵SO⊥BE，只需BE⊥OC，即$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{OC}=（\frac{\sqrt{3}}{2}a-2\sqrt{3}，2-a，0）•$$（2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}a，2，0）$=0，
即$-（\frac{3}{4}{a}^{2}-12）+4-2a=0$，解得：$a=\frac{4（\sqrt{13}-1）}{3}$．
∴$a=\frac{4（\sqrt{13}-1）}{3}$時，BE⊥平面SCO．

點評 本題考查空間幾何體體積的求法，考查利用空間向量求解線線垂直問題，考查運算能力，是中檔題．