Question

13．如圖所示，用一棱長為a的正方體，制作一以各面中心為頂點的正八面體．求：
（1）此正八面體的表面積S；
（2）此正八面體的體積V．

Answer 1

分析 （1）求出八面體的棱長，然后求解表面積即可．
（2）八面體分成兩個正四棱錐，兩個底面面積，然后求出體積即可．

解答 解：（1）正方體的棱長為a，將正方體的六個面的中心連接起來，構成一個八面體，八面體的棱長為：$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，八面體的表面積為：8×$\frac{\sqrt{3}}{4}×（\frac{\sqrt{2}a}{2}）^{2}$=$\sqrt{3}$a²．
（2）八面體分成兩個正四棱錐，底面面積為：$\frac{1}{2}$a²，高為$\frac{1}{2}$a，一個正四棱錐的體積為：$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$a²×$\frac{1}{2}$a
所以這個八面體的體積是：2×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$a2×$\frac{1}{2}$a=$\frac{1}{6}$a³．

點評 本題考查棱錐的體積和表面積的求法，正方體的內接體的知識，解題關鍵在八面體轉化為兩個正四棱錐，是常考題型．