Question

13．如圖所示，用一棱長(zhǎng)為a的正方體，制作一以各面中心為頂點(diǎn)的正八面體．求：
（1）此正八面體的表面積S；
（2）此正八面體的體積V．

Answer 1

分析 （1）求出八面體的棱長(zhǎng)，然后求解表面積即可．
（2）八面體分成兩個(gè)正四棱錐，兩個(gè)底面面積，然后求出體積即可．

解答 解：（1）正方體的棱長(zhǎng)為a，將正方體的六個(gè)面的中心連接起來(lái)，構(gòu)成一個(gè)八面體，八面體的棱長(zhǎng)為：$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，八面體的表面積為：8×$\frac{\sqrt{3}}{4}×（\frac{\sqrt{2}a}{2}）^{2}$=$\sqrt{3}$a²．
（2）八面體分成兩個(gè)正四棱錐，底面面積為：$\frac{1}{2}$a²，高為$\frac{1}{2}$a，一個(gè)正四棱錐的體積為：$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$a²×$\frac{1}{2}$a
所以這個(gè)八面體的體積是：2×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$a2×$\frac{1}{2}$a=$\frac{1}{6}$a³．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱錐的體積和表面積的求法，正方體的內(nèi)接體的知識(shí)，解題關(guān)鍵在八面體轉(zhuǎn)化為兩個(gè)正四棱錐，是�？碱}型．