Question

3．A，B是平面α外不同的兩個定點，P為平面α內動點，且cos∠PAB=$\frac{1}{3}$，則P點的軌跡是（　�。�

• A． 圓或橢圓
• B． 拋物線或雙曲線
• C． 橢圓或雙曲線
• D． 以上都有可能

Answer 1

分析 以AB為軸線，A為頂點作圓錐面，使圓錐面的頂角為arcsin$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，則圓錐面上的任意一點與A連線，都能滿足cos∠PAB=$\frac{1}{3}$，用平面α截圓錐所得的交線即為點P的軌跡．

解答 解：∵cos∠PAB=$\frac{1}{3}$，∴sin∠PAB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，則∠PAB=arcsin$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
以AB為軸線，A為頂點，頂角是arcsin$\frac{2\sqrt{2}}{3}$作圓錐，則P就是這個錐面與平面α的交線．
如果平面α只與圓錐面一面相交，那么P的軌跡是圓或橢圓或拋物線；
如果P與圓錐面兩側都相交（圓錐面兩側指以A為頂點向上的圓錐和向下的圓錐，就像沙漏的形狀），則軌跡是雙曲線．
∴點A的軌跡為圓或橢圓或拋物線或雙曲線．
故選：D．

點評 本題考查軌跡方程，考查學生的空間想象能力和思維能力，正確作出圖形是解答此題的關鍵，是中檔題．