Question

19．已知數(shù)列：1024，1024+lg$\frac{1}{2}$…，1024+lg$\frac{1}{{2}^{n-1}}$；（lg2取0.301）試求：
（1）n為何值時，前n項和最大？
（2）n為何值時，前n項和的絕對值最�。�

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）由S_n≥0，解得n≤$\frac{2048}{lg2}$+1≈6804+$\frac{297}{301}$，即可得出．

解答 解：（1）a_n=1024+lg$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=1024-（n-1）lg2，
∴此數(shù)列前n項和S_n=$\frac{n[1024+1024-（n-1）lg2]}{2}$=-$\frac{lg2}{2}$n²+$\frac{1}{2}$（2048+lg2）n=-$\frac{lg2}{2}$$（n-\frac{2048+lg2}{2lg2}）^{2}$+$\frac{（2048+lg2）^{2}}{8lg2}$．
$\frac{1024}{lg2}$+$\frac{1}{2}$=3401+$\frac{299}{301}$+$\frac{1}{2}$≈3402時，前n項和取得最大值，為1701（2048+3403lg2）．
（2）由S_n=$\frac{n[1024+1024-（n-1）lg2]}{2}$≥0，解得n≤$\frac{2048}{lg2}$+1≈6804+$\frac{297}{301}$，
可知：當(dāng)n=6805時，|S_n|取得最小值．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．