Question

1．如圖1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=AD=2，CD=4，點(diǎn)E為線段AB上異于A，B的點(diǎn)，且EF∥AD，沿EF將面EBCF折起，使平面EBCF⊥平面AEFD，如圖2．
（Ⅰ）求證：AB∥平面DFC；
（Ⅱ）當(dāng)三棱錐F-ABE體積最大時(shí)，求鈍二面角B-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理證明平面ABE∥平面DFC即可證明AB∥平面DFC；
（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可鈍二面角B-AC-D的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：∵角梯形ABCD中，BE∥CF，AE∥DF，
且DF∩DF=F，
∴平面ABE∥平面DFC，
∵AB?平面ABE，
∴AB∥平面DFC；
（Ⅱ）當(dāng)三棱錐F-ABE體積最大時(shí)，∵EF=2是定值，
∴只需要△ABE的面積最大即可，
即S=$\frac{1}{2}$AE•BE最大，
∵AE+BE=2，
∴S=$\frac{1}{2}$AE•BE$＜\frac{1}{2}$•（$\frac{AE+BE}{2}$）²=$\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)AE=BE=1時(shí)，取等號(hào)，
即此時(shí)E是AB的中點(diǎn)，
建立以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)E，F(xiàn)D，F(xiàn)C分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
則F（0，0，0），B（2，0，1），A（2，1，0），D（0，1，0），C（0，0，3），
則$\overrightarrow{AC}$=（-2，-1，3），$\overrightarrow{AB}$=（0，-1，1）.$\overrightarrow{AD}$=（-2，0，0），
設(shè)平面ABC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），ACD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=-2x-y+3z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-y+z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，則y=1=，x=1，即$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-2x-y+3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=-2x=0}\end{array}\right.$，則令z=1，x=0，y=3，
即$\overrightarrow{n}$=（0，3，1），
則cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3+1}{\sqrt{3}•\sqrt{9+1}}=\frac{4}{\sqrt{3}•\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{30}}{15}$，
∴鈍二面角B-AC-D的余弦值-$\frac{\sqrt{30}}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面平行的判斷，以及二面角的求解，利用面面平行的性質(zhì)定理以及建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法求二面角是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．