Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}（{sin^2}x-{cos^2}x）+2sinxcosx$．
（1）求f（x）最小正周期；
（2）設(shè)$x∈[-\frac{π}{3}，\;\frac{π}{3}]$，求f（x）的值域和單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性，求得f（x）最小正周期．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的值域，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）的增區(qū)間．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}（{sin^2}x-{cos^2}x）+2sinxcosx$=-$\sqrt{3}$cos2x+sin2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴f（x）最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
（2）設(shè)$x∈[-\frac{π}{3}，\;\frac{π}{3}]$，則2x-$\frac{π}{3}$∈[-π，$\frac{π}{3}$]，∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴求f（x）的值域為[-2，$\sqrt{3}$]．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$]，故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、定義域和值域、單調(diào)性，屬于中檔題．