Question

9．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-a|（a＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≤x的解集；
（Ⅱ）當(dāng)x≤-$\frac{1}{2}$時(shí)，不等式f（x）+t²+2t+3≥0對(duì)任意t∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入f（x），通過(guò)討論x的范圍，求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的最小值，根據(jù)函數(shù)恒成立求出a的范圍即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）≤x化為|2x+1|-|x-1|≤x，…（1分）
當(dāng)$x≤-\frac{1}{2}$，不等式化為2x+2≥0，解得$-1≤x≤-\frac{1}{2}$；…（2分）
當(dāng)$-\frac{1}{2}＜x＜1$，不等式化為2x≤0，解得$-\frac{1}{2}＜x≤0$；  …（3分）
當(dāng)x≥1，不等式化為2≤0，無(wú)解；…（4分）
所以f（x）≤x解集為{x|-1≤x≤0}． …（5分）
（2）∵當(dāng)$x≤-\frac{1}{2}$時(shí)f（x）=-2x-1-（a-x）=-x-a-1，
∴$f{（x）_{min}}=f（-\frac{1}{2}）=-\frac{1}{2}-a$． …（6分）
∵t²+2t+3=（t+1）²+2≥2，…（7分）
要使當(dāng)$x≤-\frac{1}{2}$時(shí)f（x）+t²+2t+3≥0對(duì)任意t∈R恒成立，
則當(dāng)$x≤-\frac{1}{2}$時(shí)f（x）+2≥0恒成立，…（9分）
∴$-\frac{1}{2}-a+2≥0$，又由已知a＞0
∴$0＜a≤\frac{3}{2}$． …（10分）

點(diǎn)評(píng) 本小題考查絕對(duì)值不等式的解法與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等．