Question

12．△ABC中，BC=4，AB=2AC，則S_△ABC的最大值為$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 設AC=x，則AB=2x，根據面積公式得S_△ABC=2x$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$，由余弦定理求得 cosC代入化簡 S_△ABC=$\sqrt{\frac{256}{9}-\frac{9}{16}（{x}^{2}-\frac{80}{9}）^{2}}$，由三角形三邊關系求得$\frac{4}{3}＜x＜4$，由二次函數的性質求得S_△ABC取得最大值．

解答 解：設AC=x，則AB=2x，根據面積公式得：S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC•sinC=2x•sinC
=2x$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$．
由余弦定理可得：cosC=$\frac{16-3{x}^{2}}{8x}$，
∴S_△ABC=2x$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=2x$\sqrt{1-（\frac{16-3{x}^{2}}{8x}）^{2}}$=$\sqrt{-16-\frac{9}{16}{x}^{4}+10{x}^{2}}$
=$\sqrt{-\frac{9}{16}[（{x}^{2}-\frac{80}{9}）^{2}-\frac{4096}{81}]}$=$\sqrt{\frac{256}{9}-\frac{9}{16}（{x}^{2}-\frac{80}{9}）^{2}}$．
由三角形三邊關系有 $\left\{\begin{array}{l}{2x+x＞4}\\{x+4＞2x}\end{array}\right.$，解得$\frac{4}{3}＜x＜4$，
故當x=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$時，S_△ABC取得最大值$\frac{16}{3}$，
故答案為：$\frac{16}{3}$．

點評 本題主要考查了余弦定理和面積公式在解三角形中的應用，考查了二次函數的性質，考查了計算能力，當涉及最值問題時，可考慮用函數的單調性和定義域等問題，屬于中檔題．