Question

19．已知f（x）=2x²-tx，且|f（x）|=2有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)根α和β（α＜β）．
（1）求實(shí)數(shù)t的取值范圍
（2）若x₁、x₂∈[α，β]且x₁≠x₂，求證：4x₁x₂-t（x₁+x₂）-4＜0；
（3）設(shè)$g（x）=\frac{4x-t}{{{x^2}+1}}$，對于任意x₁、x₂∈[α，β]上恒有|g（x₁）-g（x₂）|≤λ（β-α）成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)，結(jié)合條件可得$\frac{t^2}{8}＜2$，解不等式即可得到k的范圍；
（2）運(yùn)用韋達(dá)定理和不等式的性質(zhì)，結(jié)合分解因式，即可得證；
（3）運(yùn)用g（x）的單調(diào)性和分離參數(shù)，即可得到右邊函數(shù)的最大值，進(jìn)而得到所求范圍．

解答 解：（1）根據(jù)f（x）=2x²-tx圖象翻折后頂點(diǎn)值$\frac{t^2}{8}＜2$，
得-4＜t＜4，
即有t的取值范圍是（-4，4）；
（2）證明：由韋達(dá)定理知$α+β=\frac{t}{2}，αβ=-1$，
不妨設(shè)α＜x₁＜x₂＜β，
由于x₁、x₂∈[α，β]，故（x₁-α）（x₂-β）≤0，x₁x₂-（αx₂+βx₁）+αβ≤0
即4x₁x₂-4（αx₂+βx₁）-4≤0，4x₁x₂-t（x₁+x₂）-4≤4（αx₂+βx₁）-t（x₁+x₂）
=4（αx₂+βx₁）-2（α+β）（x₁+x₂）=2（αx₂+βx₁）-2（αx₁+βx₂）=2（x₂-x₁）（α-β）＜0，
（3）解：任取x₁、x₂∈[α，β]，x₁＜x₂，
則$g（{x_1}）-g（{x_2}）=-\frac{{4{x_1}{x_2}-t（{x_1}+{x_2}）-4}}{{（{x_1}^2+1）（x_2^2+1）}}（{x_2}-{x_1}）＞0$，
所以g（x）在[α，β]上是增函數(shù)，
故|g（x₁）-g（x₂）|≤λ（β-α）
等價(jià)于$λ≥\frac{g（β）-g（α）}{β-α}$$\frac{g（β）-g（α）}{β-α}$=$-\frac{{4αβ-t（{α+β}）-4}}{{（{{α^2}+1}）（{{β^2}+1}）}}$=2，
故λ≥2．

點(diǎn)評 本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，同時(shí)考查韋達(dá)定理和不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．