Question

3．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)F（2，0），點(diǎn)A（2，$\sqrt{2}$）為橢圓上一點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)M、N為橢圓上兩點(diǎn)，若直線AM的斜率與直線AN的斜率互為相反數(shù)，求證：直線MN的斜率為定值；
（3）在（2）的條件下，△AMN的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得c=2，由A滿足橢圓方程，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線AM的斜率為k，則直線AN的斜率為-k，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合兩點(diǎn)的斜率公式計(jì)算即可得到所求定值；
（3）不妨設(shè)過M，N的直線方程為：$y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+m$，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，由點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）由已知c=2，∵$A（2，\sqrt{2}）$在橢圓上，
∴$\frac{4}{a^2}+\frac{2}{b^2}=1$，
又a²=b²+c²，解得b²=4，a²=8，
可得橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；         
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線AM的斜率為k，
則直線AN的斜率為-k，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{y-\sqrt{2}=k（x-2）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，消去y得（1+2k²）x²-（8k²-4$\sqrt{2}$k）x+8k²-8$\sqrt{2}$k-4=0，
由曲線E與直線l只有兩個(gè)公共點(diǎn)，可得△＞0，且x₁，2是方程的二根，
∴$2{x_1}=\frac{{8{k^2}-8\sqrt{2}k-4}}{{1+2{k^2}}}$，∴${x_1}=\frac{{4{k^2}-4\sqrt{2}k-2}}{{1+2{k^2}}}$，
∴${y_1}=k（{x_1}-2）+\sqrt{2}=\frac{{-2\sqrt{2}{k^2}-4k+\sqrt{2}}}{{1+2{k^2}}}$，
同理${x_2}=\frac{{4{k^2}+4\sqrt{2}k-2}}{{1+2{k^2}}}$，${y_2}=\frac{{-2\sqrt{2}{k^2}+4k+\sqrt{2}}}{{1+2{k^2}}}$
∴${k_{MN}}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{8k}{{8\sqrt{2}k}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$為定值．
（3）不妨設(shè)過M，N的直線方程為：$y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+m$
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+m\\ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$，消去y得${x^2}+\sqrt{2}mx+{m^2}-4=0$，
由△＞0，解得m²＜8，${x_1}+{x_2}=-\sqrt{2}m$，${x_1}{x_2}={m^2}-4$，
計(jì)算得：$A（2，\sqrt{2}）$點(diǎn)到直線MN的距離$d=\frac{|2m|}{{\sqrt{6}}}$，
∴${S_{△AMN}}=\frac{1}{2}•d•|MN|=\frac{1}{2}\frac{|2m|}{{\sqrt{6}}}\sqrt{1+\frac{1}{2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$
=$\frac{1}{2}•\sqrt{-2{m^4}+16{m^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{-2{{（{m^2}-4）}^2}+32}$
∴當(dāng)m²=4，即m=±2時(shí)，${（{S_{△AMN}}）_{max}}=2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)滿足橢圓方程，考查直線的斜率為定值的求法，注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及兩點(diǎn)的斜率公式，考查△AMN的面積是否存在最大值，運(yùn)用直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和三角形的面積公式，結(jié)合二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．