Question

18．己知f（x）=e^x，g（x）=x．
（1）求y=f（x）•g（x）在x=1處的切線方程；
（2）試比較e^f（x-2）＞與g（x）的大小，并證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已構(gòu)造的函數(shù)，求出y的解析式，對y求導(dǎo)，求出x=1時y的導(dǎo)數(shù)，求出切線；（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，求出最小值大于0．

解答 解：（1）由y=f（x）•g（x）=xe^x
則y′=e^x（1+x）
${y}_{x=1}^{′}=2e$  切線方程的斜率為2e
設(shè)切線方程為y=2ex+b
切線過點（1，e），代入切線方程得b=-e：
切線方程為y=2ex-e
（2）證明：當(dāng)x＜0時，e^f（x-2）＞0，g（x）＜0，顯然成立；
當(dāng)x≥0，設(shè)$F（x）={e}^{{e}^{x-2}}-x$
則$F′（x）={e}^{{e}^{x-2}}•{e}^{x-2}-1$
F′（x）＞0恒成立；F（x）單調(diào)遞增，F(xiàn)（0）取最小值，最小值為F（0）＞0，
∴e^f（x-2）＞g（x）

點評 本題主要考察求利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，（2）構(gòu)造函數(shù)的求最值，利用函數(shù)最值，比較函數(shù)的大小．