Question

13．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$經(jīng)過點(diǎn) $（\frac{6}{5}，\frac{4}{5}）$，其離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，設(shè)A，B，M是橢圓C上的三點(diǎn)，且滿足 $\overrightarrow{OM}=cosα•\overrightarrow{OA}+sinα•\overrightarrow{OB}$$（α∈（0，\frac{π}{2}））$，其
中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）證明：△OAB的面積是一個(gè)常數(shù)．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，解得a=2，b=1，可得橢圓方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，n），可得x₁²+4y₁²=4，x₂²+4y₂²=4，m²+4n²=4，由向量的坐標(biāo)表示，求得m，n，再平方相加，可得x₁x₂+4y₁y₂=0，再由橢圓的參數(shù)方程，結(jié)合兩角差的正弦和余弦公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到常數(shù)1．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
將點(diǎn) $（\frac{6}{5}，\frac{4}{5}）$代入橢圓方程，可得$\frac{36}{25{a}^{2}}$+$\frac{16}{25^{2}}$=1，
又a²-b²=c²，
解得a=2，b=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，n），
可得x₁²+4y₁²=4，x₂²+4y₂²=4，m²+4n²=4，
由$\overrightarrow{OM}=cosα•\overrightarrow{OA}+sinα•\overrightarrow{OB}$$（α∈（0，\frac{π}{2}））$，
可得（m，n）=cosα•（x₁，y₁）+sinα•（x₂，y₂），
即有m=cosα•x₁+sinα•x₂，
n=cosα•y₁+sinα•y₂，
可得m²+4n²=cos²α（x₁²+4y₁²）+sin²α（x₂²+4y₂²）+2cosαsinα（x₁x₂+4y₁y₂）
=4cos²α+4sin²α+sin2α（x₁x₂+4y₁y₂），
即有sin2α（x₁x₂+4y₁y₂）=0，由α∈（0，$\frac{π}{2}$），可得
x₁x₂+4y₁y₂=0，
又S_△ABO=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|sin∠AOB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{|OA{|}^{2}•|OB{|}^{2}-（|OA|•|OB|cos∠AOB）^{2}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}）（{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}）-（{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$|x₁y₂-x₂y₁|，
由x₁=2cosβ，y₁=sinβ，x₂=2cosγ，y₂=sinγ，
x₁x₂+4y₁y₂=0，即為4（cosβcosγ+sinβsinγ）=0，
即cos（β-γ）=0，
又S_△ABO=$\frac{1}{2}$|x₁y₂-x₂y₁|=$\frac{1}{2}$|2cosβsinγ-2cosγsinβ|=|sin（β-γ）|=1．
則△OAB的面積是一個(gè)常數(shù)1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查三角形的面積為常數(shù)，注意點(diǎn)在橢圓上滿足橢圓方程，以及平方相加，同時(shí)結(jié)合橢圓的參數(shù)方程和三角形的面積公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．