Question

11．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且點(diǎn)$（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$在橢圓E上．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）直線l與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)$（0，\frac{1}{2}）$．求△AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），討論直線AB的斜率為0和不為0，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，結(jié)合基本不等式和二次函數(shù)的最值的求法，可得面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由已知，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²-b²=c²，
∵點(diǎn)$（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$在橢圓上，
∴$\frac{1}{a^2}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1$，解得a=2，b=1．
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵AB的垂直平分線過(guò)點(diǎn)$（0，\frac{1}{2}）$，∴AB的斜率k存在．
當(dāng)直線AB的斜率k=0時(shí)，x₁=-x₂，y₁=y₂，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$•2|x₁|•|y₁|=|x₁|•$\sqrt{1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}（4-{{x}_{1}}^{2}）}$≤$\frac{1}{2}$•$\frac{{{x}_{1}}^{2}+4-{{x}_{1}}^{2}}{2}$=1，
當(dāng)且僅當(dāng)x₁²=4-x₁²，取得等號(hào)，
∴${x_1}=±\sqrt{2}$時(shí)，（S_△AOB）_max=1；
當(dāng)直線AB的斜率k≠0時(shí)，設(shè)l：y=kx+m（m≠0）．
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$消去y得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
由△＞0可得4k²+1＞m²①，
x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，可得$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{4km}{{1+4{k^2}}}$，
$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=k\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}+m=\frac{m}{{1+4{k^2}}}$，
∴AB的中點(diǎn)為$（\frac{-4km}{{1+4{k^2}}}，\frac{m}{{1+4{k^2}}}）$，
由直線的垂直關(guān)系有$k•\frac{{\frac{m}{{1+4{k^2}}}-\frac{1}{2}}}{{\frac{-4km}{{1+4{k^2}}}}}=-1$，化簡(jiǎn)得1+4k²=-6m②
由①②得-6m＞m²，解得-6＜m＜0，
又O（0，0）到直線y=kx+m的距離為$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
$|AB|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{1+{k^2}}•4•\sqrt{\frac{{1+4{k^2}-{m^2}}}{{{{（1+4{k^2}）}^2}}}}$，
${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|AB|d=\frac{1}{2}\sqrt{1+{k^2}}•4•\sqrt{\frac{{1+4{k^2}-{m^2}}}{{{{（1+4{k^2}）}^2}}}}•\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$
=$2\sqrt{\frac{{-6m-{m^2}}}{{36{m^2}}}}|m|=\frac{1}{3}\sqrt{-{{（m+3）}^2}+9}$，
∵-6＜m＜0，∴m=-3時(shí)，${（{S_{△AOB}}）_{max}}=\frac{1}{3}×3=1$．
由m=-3，∴1+4k²=18，解得$k=±\frac{{\sqrt{17}}}{2}$；
即$k=±\frac{{\sqrt{17}}}{2}$時(shí)，（S_△AOB）_max=1；        
綜上：（S_△AOB）_max=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查三角形的面積的最值的求法，注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及基本不等式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．