Question

7．設向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow$=（cosx，$\sqrt{3}$cosx），x∈R，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）△ABC中邊a、b、c所對的角為A、B、C，若acosB+bcosA=2ccosC，c=$\sqrt{3}$，當f（$\frac{B}{2}$）取最大值時，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）將f（x）化簡成y=Asin（ωx+φ）形式，帶入周期公式求出；
（2）利用正弦定理將條件化簡得出C，根據(jù)f（$\frac{B}{2}$）取最大值求出B，然后解三角形．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1+sinxcosx+$\sqrt{3}$cos²x=1+$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵acosB+bcosA=2ccosC，∴sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sin（A+B）=2sinCcosC．
∴cosC=$\frac{1}{2}$．∴C=$\frac{π}{3}$．
f（$\frac{B}{2}$）=sin（B+$\frac{π}{3}$）+1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，∴當B+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即B=$\frac{π}{6}$時，f（$\frac{B}{2}$）取得最大值，
∴A=$\frac{π}{2}$．∴b=c•tanB=1，∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bc$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換與求值，正弦定理在解三角形中的應用，屬于中檔題．