Question

6．已知點A（0，2），B（4，0），C（-2，1），若直線CD與直線AB相交，且交點D在線段AB上，直線CD的斜率為k，求$k+\frac{1}{2}+\frac{1}{{k+\frac{1}{2}}}$的取值范圍（　　）

• A． .$（2，\frac{10}{3}）$
• B． $（-∞，\frac{10}{3}）$
• C． $[2，\frac{10}{3}]$
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 畫出圖形，根據(jù)圖形得出直線CD的斜率k滿足k_BC≤k≤k_AC；求出k_CA，k_CB，通過基本不等式的性質(zhì)求出其范圍即可．

解答 解：如圖示：
直線AC的斜率為：$\frac{2-1}{0-（-2）}$=$\frac{1}{2}$，
直線BC的斜率是：$\frac{0-1}{4-（-2）}$=-$\frac{1}{6}$；
（2）∵點D在線段AB上（包括端點）移動，
∴直線CD的斜率為k：-$\frac{1}{6}$≤k≤$\frac{1}{2}$；
∴$\frac{1}{3}$≤k+$\frac{1}{2}$≤1，
∴$k+\frac{1}{2}+\frac{1}{{k+\frac{1}{2}}}$≥2$\sqrt{（k+\frac{1}{2}）•（\frac{1}{k+\frac{1}{2}}）}$=2，
當k+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$時：$k+\frac{1}{2}+\frac{1}{{k+\frac{1}{2}}}$取到最大值$\frac{10}{3}$，
故選：C．

點評 此題考查學生會根據(jù)兩點坐標求過兩點直線的斜率，直線的斜率的問題，解題時應畫出圖形，結(jié)合圖形，得出結(jié)論，從而解答問題．