Question

11．已知F是雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F向C的一條漸近線引垂線，垂足為A，交另一條漸近線于點(diǎn)B，F(xiàn)在線段AB上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|OB|=2|OA|，則雙曲線C的離心率是$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意，OA⊥OB，|OB|=2|OA|，可得∠AOB=60°，利用$\frac{a}$=tan∠AOF=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，e=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$，即可求出雙曲線C的離心率．

解答 解：由題意，OA⊥aB，|OB|=2|OA|，
∴∠AOB=60°，
∴∠AOF=30°，
∴$\frac{a}$=tan∠AOF=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴e=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
故答案為：$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線C的離心率，考查特殊角的三角函數(shù)，屬于中檔題．