Question

14．求證：cos$\frac{2π}{2n+1}$+cos$\frac{4π}{2n+1}$+…+cos$\frac{2nπ}{2n+1}$=-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意，余弦值的角度呈等差遞增數(shù)列，利用棣莫弗定理構(gòu)造復數(shù)，化簡轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和形式，最后得到結(jié)論．

解答 證明：由題意得，
令Z=cos$\frac{2π}{2n+1}$+isin$\frac{2π}{2n+1}$，則Z^-1=$\frac{1}{cos\frac{2π}{2n+1}+isin\frac{2π}{2n+1}}$=$\frac{cos\frac{2π}{2n+1}-isin\frac{2π}{2n+1}}{（cos\frac{2π}{2n+1}+isin\frac{2π}{2n+1}）（cos\frac{2π}{2n+1}-isin\frac{2π}{2n+1}）}$=$\frac{cos\frac{2π}{2n+1}-isin\frac{2π}{2n+1}}{co{s}^{2}\frac{2π}{2n+1}-{i}^{2}si{n}^{2}\frac{2π}{2n+1}}$=cos$\frac{2π}{2n+1}$--isin$\frac{2π}{2n+1}$，
所以cos$\frac{2π}{2n+1}$=$\frac{Z+{Z}^{-1}}{2}$，
所以Z²=cos$\frac{4π}{2n+1}$+isin$\frac{4π}{2n+1}$，Z^-2=cos$\frac{4π}{2n+1}$--isin$\frac{4π}{2n+1}$，
所以cos$\frac{4π}{2n+1}$=$\frac{{Z}^{2}+{Z}^{-2}}{2}$，
同理可得，cos$\frac{2nπ}{2n+1}$=$\frac{{Z}^{n}{+Z}^{-n}}{2}$．
   cos$\frac{2π}{2n+1}$+cos$\frac{4π}{2n+1}$+…+cos$\frac{2nπ}{2n+1}$
=$\frac{Z+{Z}^{-1}}{2}$+$\frac{{Z}^{2}+{Z}^{-2}}{2}$+…+$\frac{{Z}^{n}{+Z}^{-n}}{2}$
=$\frac{1}{2}$（Z^-n+…+Z^-1+Z⁰+Z¹+…+Zⁿ-Z⁰）
=$\frac{1}{2}$[$\frac{{Z}^{-n}（{Z}^{2n+1}-1）}{Z-1}-1$]
又因為Z²ⁿ⁺¹=（cos$\frac{2π}{2n+1}$+isin$\frac{2π}{2n+1}$）²ⁿ⁺¹=[cos$\frac{2（2n+1）π}{2n+1}$+isin$\frac{2（2n+1）π}{2n+1}$]²ⁿ⁺¹=1
所以代入得cos$\frac{2π}{2n+1}$+cos$\frac{4π}{2n+1}$+…+cos$\frac{2nπ}{2n+1}$=$\frac{1}{2}$[$\frac{{Z}^{-n}（1-1）}{Z-1}-1$]=-$\frac{1}{2}$．

點評 本題利用棣莫弗定理求解，難度較大，需要學生對利用棣莫弗定理有一定的了解；本題還要求學生有較高的計算能力以及對一些計算技巧掌握嫻熟．