Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+ax+b，已知不等式f（x）＜0的解集為{x|1＜x＜3}，
（1）若不等式f（x）≥m的解集為R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若f（x）≥mx對(duì)任意的實(shí)數(shù)x≥2都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由不等式f（x）＜0的解集為{x|1＜x＜3}，可以確定f（x），不等式f（x）≥m的解集為R，等價(jià)于m≤f（x）_min
（2）由恒成立問題轉(zhuǎn)化為根的個(gè)數(shù)以及對(duì)稱軸和端點(diǎn)值問題．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+ax+b，
且f（x）＜0的解集為{x|1＜x＜3}，
∴a=-4，b=3
∴f（x）=x²-4x+3，
∴f（x）=（x-2）²-1，
∴f（x）最小值為-1
∴不等式f（x）≥m的解集為R，實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≤-1
（2）∵f（x）≥mx對(duì)任意的實(shí)數(shù)x≥2都成立，
即x²-4x+3≥mx對(duì)任意的實(shí)數(shù)x≥2都成立，
兩邊同時(shí)除以x得到：x+$\frac{3}{x}$-4≥m對(duì)任意的實(shí)數(shù)x≥2都成立，
x≥2時(shí)，x+$\frac{3}{x}$-4≥-$\frac{1}{2}$，
∴m≤-$\frac{1}{2}$，
綜上所述，m≤-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查轉(zhuǎn)化問題以及根的個(gè)數(shù)以及對(duì)稱軸和端點(diǎn)值問題．