Question

6．已知雙曲線C₁：$\frac{y^2}{m+3}$-$\frac{x^2}{m}$=1（m＞0）與雙曲線C₂：$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{16}$=1有相同的漸近線，則兩個(gè)雙曲線的四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為（　　）

• A． 10
• B． 20
• C． 10$\sqrt{5}$
• D． 40

Answer 1

分析 求出兩個(gè)雙曲線的漸近線方程，根據(jù)漸近線方程相等求出m的值，然后求出對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解就．

解答 解：雙曲線C₁：$\frac{y^2}{m+3}$-$\frac{x^2}{m}$=1（m＞0）的漸近線為y=±$\sqrt{\frac{m+3}{m}}$，
雙曲線C₂：$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{16}$=1的漸近線為y=±2x，
∵兩個(gè)雙曲線有相同的漸近線，
∴$\sqrt{\frac{m+3}{m}}$=2，即$\frac{m+3}{m}$=4，得m=1，
則雙曲線C₁：$\frac{{y}^{2}}{4}$-x²=1，則對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為E（0，$\sqrt{5}$），F(xiàn)（0，-$\sqrt{5}$），
雙曲線C₂：$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{16}$=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為G（2$\sqrt{5}$，0），H（-2$\sqrt{5}$，0），
則兩個(gè)雙曲線的四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為S=2S_△GHE=2×$\frac{1}{2}×4\sqrt{5}×\sqrt{5}$=20，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查四邊形面積的計(jì)算，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線漸近線相同求出m的值是解決本題的關(guān)鍵．