Question

4．表面積為40π的球面上有四點S、A、B、C且△SAB是等邊三角形，球心O到平面SAB的距離為$\sqrt{2}$，若平面SAB⊥平面ABC，則三棱錐S-ABC體積的最大值為6$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 作出直觀圖，根據(jù)球和等邊三角形的性質(zhì)計算△SAB的面積和棱錐的最大高度，代入體積公式計算．

解答 解：過O作OF⊥平面SAB，則F為△SAB的中心，過F作FE⊥SA于E點，則E為SA中點，
取AB中點D，連結(jié)SD，則∠ASD=30°，
設(shè)球O半徑為r，則4πr²=40π，解得r=$\sqrt{10}$．
連結(jié)OS，則OS=r=$\sqrt{10}$，OF=$\sqrt{2}$，∴SF=$\sqrt{O{S}^{2}-O{F}^{2}}$=2$\sqrt{2}$=2．
∴DF=EF=$\sqrt{2}$，SE=$\sqrt{S{F}^{2}-E{F}^{2}}$=$\sqrt{6}$．∴SA=2SE=2$\sqrt{6}$，S_△SAB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$SA²=6$\sqrt{3}$．
過O作OM⊥平面ABC，則當(dāng)C，M，D三點共線時，C到平面SAB的距離最大，即三棱錐S-ABC體積最大．
連結(jié)OC，∵平面SAB⊥平面ABC，∴四邊形OMDF是矩形，
∴MD=OF=$\sqrt{2}$，OM=DF=$\sqrt{2}$．∴CM=$\sqrt{O{C}^{2}-O{M}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴CD=CM+DM=3$\sqrt{2}$．
∴三棱錐S-ABC體積V=$\frac{1}{3}$S_△SAB•CD=$\frac{1}{3}×6\sqrt{3}×$3$\sqrt{2}$=6$\sqrt{6}$．
故答案為：6$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了棱錐的體積計算，空間幾何體的作圖能力，準(zhǔn)確畫出直觀圖找到棱錐的最大高度是解題關(guān)鍵．