【題目】已知雙曲線E:﹣=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別為l1:y=2x,l2:y=﹣2x.
(1)求雙曲線E的離心率;
(2)如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)直線l分別交直線l1 , l2于A,B兩點(diǎn)(A,B分別在第一、第四象限),且△OAB的面積恒為8,試探究:是否存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E?若存在,求出雙曲線E的方程,若不存在,說明理由.
【答案】解:(1)因?yàn)殡p曲線E的漸近線分別為l1:y=2x,l2:y=﹣2x,
所以=2.
所以=2.
故c=a,
從而雙曲線E的離心率e==.
(2)由(1)知,雙曲線E的方程為﹣=1.
設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)C,
當(dāng)l⊥x軸時(shí),若直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則|OC|=a,|AB|=4a,
所以|OC||AB|=8,
因此a4a=8,解得a=2,此時(shí)雙曲線E的方程為﹣=1.
以下證明:當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí),雙曲線E的方程為﹣=1也滿足條件.
設(shè)直線l的方程為y=kx+m,依題意,得k>2或k<﹣2;
則C(﹣,0),記A(x1 , y1),B(x2 , y2),
由得y1=,同理得y2=,
由S△OAB=|OC||y1﹣y2|得:
|﹣||﹣|=8,即m2=4|4﹣k2|=4(k2﹣4).
由得:(4﹣k2)x2﹣2kmx﹣m2﹣16=0,
因?yàn)?﹣k2<0,
所以△=4k2m2+4(4﹣k2)(m2+16)=﹣16(4k2﹣m2﹣16),
又因?yàn)閙2=4(k2﹣4),
所以△=0,即直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn).
因此,存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E,且E的方程為﹣=1.
【解析】(1)依題意,可知=2,易知c=a,從而可求雙曲線E的離心率;
(2)由(1)知,雙曲線E的方程為﹣=1,設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)C,分l⊥x軸與直線l不與x軸垂直討論,當(dāng)l⊥x軸時(shí),易求雙曲線E的方程為﹣=1.當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+m,與雙曲線E的方程聯(lián)立,利用由S△OAB=|OC||y1﹣y2|=8可證得:雙曲線E的方程為﹣=1,從而可得答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,第一象限內(nèi)有定點(diǎn)和射線,已知,的傾斜角分別為,,,, 軸上的動(dòng)點(diǎn)與,共線.
(1)求點(diǎn)坐標(biāo)(用表示);
(2)求面積關(guān)于的表達(dá)式;
(3)求面積的最小時(shí)直線的方程.
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【題目】對于函數(shù),下列說法正確的是____________.
①函數(shù)的定義域?yàn)?/span>;
②函數(shù)為奇函數(shù);
③函數(shù)的值域?yàn)?/span>;
④函數(shù)在定義域上為增函數(shù);
⑤對于,均有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣ .
(1)若0<α< , 且sinα= , 求f(α)的值;
(2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面四邊形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD,將△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如圖.
(1)求證:AB⊥CD;
(2)若M為AD中點(diǎn),求直線AD與平面MBC所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了研究某藥品的療效,選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn),所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位:kPa)的分組區(qū)間為[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組,第二組,,第五組,右圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖,已知第一組與第二組共有20人,第三組中沒有療效的有6人,則第三組中有療效的人數(shù)為( )
A. 6 B. 8 C. 12 D. 18
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩同學(xué)5次綜合測評(píng)的成績?nèi)缜o葉圖所示.
甲 | 乙 | |||||
9 | 8 | 8 | 3 | 3 | 7 | |
2 | 1 | 0 | 9 | ● | 9 |
老師在計(jì)算甲、乙兩人平均分時(shí),發(fā)現(xiàn)乙同學(xué)成績的一個(gè)數(shù)字無法看清.若從{0,1,2,…,9}隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字代替,則乙的平均成績超過甲的平均成績的概率為( 。
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+lnx.
(Ⅰ)當(dāng)a=﹣1時(shí),求函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)已知a<0,若函數(shù)y=f(x)的圖象總在直線y=-的下方,求a的取值范圍;
(Ⅲ)記f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù).若a=1,試問:在區(qū)間[1,10]上是否存在k(k<100)個(gè)正數(shù)x1 , x2 , x3…xk , 使得f′(x1)+f′(x2)+f′(x3)+…+f′(xk)≥2012成立?請證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,,且f(x)=.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.
(2)當(dāng)時(shí),f(x)的最小值是-4,求此時(shí)函數(shù)f(x)的最大值,并求出相應(yīng)的x的值.
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