Question

19．已知α是△ABC的內角，若cosα、$\frac{1}{2}$、sinα成等差數(shù)列，且△ABC的周長為$\sqrt{2}$，則最大邊長的最小值為2-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由條件利用等差數(shù)列的定義求得α=$\frac{π}{2}$，最大邊為斜邊c，由△ABC的周長為a+b+c=$\sqrt{2}$，即a+b=$\sqrt{2}$-c，平方利用基本不等式求得c的最小值．

解答 解：∵α是△ABC的內角，cosα、$\frac{1}{2}$、sinα成等差數(shù)列，∴cosα+sinα=1，∴α=$\frac{π}{2}$．
設最大邊為c，則有c²=a²+b²，△ABC的周長為 a+b+c=$\sqrt{2}$，即a+b=$\sqrt{2}$-c．
平方可得，a²+b²+2ab=2+c²-2$\sqrt{2}$c，即2ab=2-2$\sqrt{2}$c．
由基本不等式 2ab≤a²+b²=c²，即 c²≥2-2$\sqrt{2}$c，求得c≥2-$\sqrt{2}$，或c≤-2-$\sqrt{2}$（舍去），
故斜邊c的最小值為 2-$\sqrt{2}$，
故答案為：2-$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查等差數(shù)列的定義、余弦定理、基本不等式的應用，屬于中檔題．