Question

9．S_n為數(shù)列{2n+1}的前n項(xiàng)和，求數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為$\frac{3}{4}-\frac{1}{2（n+1）}-\frac{1}{2（n+2）}$．

Answer 1

分析 由等差數(shù)列的求和公式求得數(shù)列{2n+1}的前n項(xiàng)和，代入數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}后由裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項(xiàng)和．

解答 解：由題意，S_n=3+5+7+…+（2n+1）=$\frac{（3+2n+1）n}{2}=n（n+2）$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
設(shè)數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為T_n，
則${T}_{n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）=\frac{1}{2}（\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}-\frac{1}{2（n+1）}-\frac{1}{2（n+2）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．