Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+2x，x≤0}\\{f（x-1）+1，x＞0}\end{array}}$，當(dāng)x∈[0，100]時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=x-$\frac{1}{5}$的所有解的和為10000．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的解析式分別求出各段上方程的根的和，找出規(guī)律作和即可．

解答 解：x∈[0，1）時(shí)，f（x）=（x-1）²+2（x-1）+1=x²，
令f（x）=x-$\frac{1}{5}$，得：x²-x+$\frac{1}{5}$=0，∴x₁+x₂=1；
x∈[1，2）時(shí)，f（x）=（x-1）²+1，
令f（x）=x-$\frac{1}{5}$，得：x₃+x₄=3，
x∈[3，4）時(shí)，f（x）=（x-2）²+2，
令f（x）=x-$\frac{1}{5}$，得：x₅+x₆=5，
…，
x∈[n，n+1）時(shí)，f（x）=（x-n）²+n，
令f（x）=x-$\frac{1}{5}$，得：x_2n+1+x_2n+2=2n+1，
x∈[99，100]時(shí)，f（x）=（x-99）²+99，
令f（x）=x-$\frac{1}{5}$，得：x₁₉₉+x₂₀₀=199，
∴1+3+5+…+199=10000，
故答案為：10000．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)問題，考查了分類討論以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．