Question

20．設(shè)雙曲線C的焦點在x軸上，漸近線方程為y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$x，則其離心率為$\frac{\sqrt{6}}{2}$；若點（4，2）在C上，則雙曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線漸近線和a，b的關(guān)系建立方程進行求解即可求出離心率的大小，利用待定系數(shù)法求λ，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵雙曲線C的焦點在x軸上，漸近線方程為y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=e²-1=$\frac{2}{4}$，
則e²=$\frac{6}{4}$，則e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=λ，λ＞0，
∵若點（4，2）在C上，
∴λ=$\frac{{4}^{2}}{2}-{2}^{2}$=8-4=4，
即雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=4，
即  $\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{2}$  $\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$

點評 本題主要考查雙曲線方程和性質(zhì)，利用待定系數(shù)法建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．