Question

17．拋物線y²=2x的內(nèi)接△ABC的三條邊所在直線與拋物線x²=2y均相切，設A，B兩點的縱坐標分別是a，b，則C點的縱坐標為（　�。�

• A． a+b
• B． -a-b
• C． 2a+2b
• D． -2a-2b

Answer 1

分析 由題意分別設出A（$\frac{1}{2}{a}^{2}，a$），B（$\frac{1}{2}^{2}，b$），C（$\frac{1}{2}{c}^{2}，c$）．然后由兩點坐標分別求得三角形三邊所在直線的斜率，由點斜式寫出直線方程，和拋物線方程聯(lián)立，由判別式等于0得到a，b，c所滿足的條件，把c用含有a，b的代數(shù)式表示得答案．

解答 解：如圖：設A（$\frac{1}{2}{a}^{2}，a$），B（$\frac{1}{2}^{2}，b$），C（$\frac{1}{2}{c}^{2}，c$）．

則${k}_{AB}=\frac{b-a}{\frac{1}{2}^{2}-\frac{1}{2}{a}^{2}}=\frac{2}{b+a}$，∴AB所在直線方程為$y-b=\frac{2}{b+a}（x-\frac{1}{2}^{2}）$，
即$y=\frac{2}{b+a}x+\frac{ab}{b+a}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{b+a}x+\frac{ab}{b+a}}\\{{x}^{2}=2y}\end{array}\right.$，得：（b+a）x²-4x-2ab=0．
則△=（-4）²+8ab（a+b）=0，即2+ab（a+b）=0．
同理可得：2+ac（a+c）=0，2+bc（b+c）=0．
兩式作差得：c=-a-b．
故選：B．

點評 本題考查了拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查了直線和拋物線相切的條件，考查了運算能力，是中檔題．