Question

20．某紡紗廠生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗，已知生產(chǎn)甲種棉紗1噸需消耗一級(jí)子棉2噸、二級(jí)子棉1噸；生產(chǎn)乙種棉紗1噸需消耗一級(jí)子棉1噸、二級(jí)子棉2噸，每噸甲種、乙種棉紗的利潤(rùn)分別是900元和600元，工廠在生產(chǎn)中要求消耗一級(jí)子棉不超過300噸、二級(jí)子棉不超過270噸，且甲種棉紗的產(chǎn)量不能超過乙種棉紗的產(chǎn)量60噸．
（Ⅰ）請(qǐng)列出符合題意的不等式組及目標(biāo)函數(shù)；
（Ⅱ）甲、乙兩種棉紗應(yīng)各生產(chǎn)多少噸，才能獲得最大利潤(rùn)？并求出最大利潤(rùn)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先設(shè)設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗分別為x噸、y噸，利潤(rùn)總額為z元，根據(jù)題意抽象出x，y滿足的條件，建立約束條件．
（Ⅱ）作出可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)z=900x+600y，利用截距模型，平移直線找到最優(yōu)解，即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗分別為x噸、y噸，利潤(rùn)總額為z元，
則$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≤300}\\{x+2y≤270}\\{x-y≤60}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$
z=900x+600y．
（Ⅱ）作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域（如圖），即可行域．
由z=900x+600y得y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{z}{600}$，
平移直線y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{z}{600}$，由圖象知當(dāng)直線y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{z}{600}$經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=300}\\{x+2y=270}\end{array}\right.$，解得A的坐標(biāo)為（110，80）．
因此，當(dāng)x=110，y=80時(shí)，z取得最大值．此時(shí)z=900×110+600×80=147000．
答：應(yīng)生產(chǎn)甲種棉110噸，乙種棉紗80噸，能使利潤(rùn)總額達(dá)到最大，最大利潤(rùn)總額為14.7萬元．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題中的最值問題，基本思路是抽象約束條件，作出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的類型，找到最優(yōu)解．屬中檔題．