Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，且橢圓上的點到右焦點F的最大距離為3
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設過點F的直線l交橢圓C于A，B兩點，定點G（4，0），求△ABG面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，且橢圓上的點到右焦點F的最大距離為3，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）設直線l的方程為x=my+1，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，得：（3m²+4）y²+6my-9=0，由此利用韋達定理、弦長公式、函數(shù)性質，結合已知條件能求出△ABG面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，且橢圓上的點到右焦點F的最大距離為3，
∴由題意得$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{a+c=3}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得c=1，a=2，b=$\sqrt{3}$．
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）設直線l的方程為x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，得：（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-6m}{3{m}^{2}+4}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$．
S_△ABG=$\frac{1}{2}×3|{y}_{2}-{y}_{1}|$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{（{y}_{2}+{y}_{1}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=18$\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{（3{m}^{2}+4）^{2}}}$．
令μ=m²+1，（μ≥1），則$\frac{{m}^{2}+1}{（3{m}^{2}+4）^{2}}$=$\frac{μ}{（3μ+1）^{2}}$=$\frac{1}{9μ+\frac{1}{μ}+6}$．
∵9$μ+\frac{1}{μ}$在[1，+∞）上是增函數(shù)，∴9$μ+\frac{1}{μ}$的最小值為10．
∴S_△ABG≤$\frac{9}{2}$．
∴△ABG面積的最大值為$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質、韋達定理、弦長公式的合理運用．