Question

5．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點Q邊CD上一個動點，$\overrightarrow{CQ}$=λ$\overrightarrow{QD}$，點P為線段BQ（含端點）上一個動點，若λ=1，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PD}$的取值范圍為[$\frac{4}{5}$，4]．

Answer 1

分析 建立坐標系，由題意利用坐標法求得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PD}$=5${（k-\frac{4}{5}）}^{2}$+$\frac{4}{5}$，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及k∈[0，1]，求得它的范圍．

解答 解：以AB所在直線為x軸，以AD 所在直線為y軸，
建立如圖所示的坐標系，
可得A（0，0）、B（2，0）、C（2，2）、D（0，2），
當(dāng)λ=1時，點Q為線段CD的中點，Q（1，2）．
由于點P（x，y）在線段BQ上，故$\overrightarrow{BP}$=k•$\overrightarrow{BQ}$，
即（x-2，y）=k（-1，2），k∈[0，1]，
即 x-2=-k，且y=2k．
∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PD}$=（-x，-y）•（-x，2-y）=x²-2y+y² 
=（2-k）²-4k+4k²=5k²-8k+4=5${（k-\frac{4}{5}）}^{2}$+$\frac{4}{5}$，
故當(dāng)k=0時，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PD}$取得最大值為4，當(dāng) k=$\frac{4}{5}$時，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PD}$取得最小值為$\frac{4}{5}$，
故$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PD}$的范圍是[$\frac{4}{5}$，4]，
故答案為：[$\frac{4}{5}$，4]．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量坐標形式的運算法則的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．