Question

【題目】已知函數.

(1)將函數寫成分段函數的形式，并作出此函數的圖象；

(2)判斷函數在上的單調性，并加以證明；

(3)若關于的方程在區(qū)間上有兩個不相等的實根，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）f（x）圖像見解析；（2）見解析；（3）a＝﹣2或a＜﹣5．

【解析】

（1）討論0≤x≤1，1＜x≤2去絕對值，可得f（x）的分段函數；由分段函數的圖象畫法，即可畫出圖象；

（2）求得g（x）的解析式，運用單調性的定義證明，注意取值、作差和變形、定符號，以及下結論；

（3）可令t＝f（x），0≤t≤1，可得3t2+at+2＝0，t＝0顯然不成立；即有﹣a＝3t在（0，1]上有且只有一解，討論y＝3t的單調性，即可得到所求范圍．

（1）f（x）＝1﹣|x﹣1|，x∈[0，2]．

可得f（x），

f（x）的圖象如右圖：

（2）證明：g（x）＝x，

設0＜x1＜x2≤1，g（x1）﹣g（x2）＝x1x2

＝（x1﹣x2）（1），

由0＜x1＜x2≤1可得x1﹣x2＜0，10，

即有g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），

可得g（x）在（0，1]遞增；

（3）可令t＝f（x），0≤t≤1，可得3t2+at+2＝0，t＝0顯然不成立；

即有﹣a＝3t在（0，1]上有且只有一解，

由y＝3t在（0，）遞減，（，1）遞增，

可得﹣a＞5，或﹣a＝2，

即有a的范圍是a＝﹣2或a＜﹣5．