Question

13．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，焦點(diǎn)在直線x-2y-2=0上，且離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓方程；
 （2）過(guò)P（3，1）作直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，P為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由焦點(diǎn)在直線x-2y-2=0上，令y=0，得焦點(diǎn)（2，0），再由離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，能求出橢圓方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用點(diǎn)差法能求出l的方程．

解答 （本題滿(mǎn)分12分）
解：（1）∵橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，焦點(diǎn)在直線x-2y-2=0上，
∴令y=0，得焦點(diǎn)（2，0），∴c=2，
∵離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{2}{a}=\frac{1}{2}$，解得a=4，∴b²=16-4=12，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵過(guò)P（3，1）作直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，P為線段AB的中點(diǎn)，
∴由題意，x₁+x₂=6，y₁+y₂=2，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{12}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，∴$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{2}+{x}_{1}）}{16}$+$\frac{（{y}_{2}-{y}_{1}）（{y}_{2}+{y}_{1}）}{12}$=0，
∴k_l=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{9}{4}$，
∴l(xiāng)的方程為：y-1=-$\frac{9}{4}（x-3）$，即9x+4y-31=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程和直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)和點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．