Question

4．設函數(shù)f（x）=xⁿ-lnx-1（n∈N^*，n≥2）．
（1）若n=2，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）求證：①函數(shù)f（x）存在兩個零點x₁，x₂；
②x₁x₂＞e${\;}^{\frac{2}{n}-2}$（e為自然對數(shù)的底數(shù)．）

Answer 1

分析 （1）若n=2，求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)極值和導數(shù)之間的關系即可求函數(shù)f（x）的極值；
（2）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的極值和函數(shù)零點關系進行判斷，利用分析法，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)證明不等式．

解答 （1）解：當n=2時，f（x）=x²-lnx-1，（x＞0）
f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-1}{x}$；
∵x＞0，
當x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當x∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
∴f（x）在x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時有極小值f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²-ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1=$\frac{1}{2}$ln2-$\frac{1}{2}$；沒有極大值；
（2）證明：①由題意知，f′（x）=nx^n-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{{nx}^{n}-1}{x}$，
當x∈（0，$\root{n}{\frac{1}{n}}$）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當∈（$\root{n}{\frac{1}{n}}$，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
∴要有2個零點，則在x=$\root{n}{\frac{1}{n}}$處的f（x）的值要小于零，
即f（$\root{n}{\frac{1}{n}}$）=$\frac{1}{n}$-ln$\root{n}{\frac{1}{n}}$-1=$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n}$lnn-1＜0即可，
令g（n）=$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n}$lnn-1，（n≥2），
g′（n）=-$\frac{1}{{n}^{2}}$+（-$\frac{1}{{n}^{2}}$lnn+$\frac{1}{{n}^{2}}$）=-$\frac{1}{{n}^{2}}$lnn＜0，
∴g（n）在[2，+∞）單調(diào)遞減，
g（n）_最大值=g（2）=$\frac{1}{2}$（ln2-1）＜0，
∴f（$\root{n}{\frac{1}{n}}$）＜0，
∴函數(shù)f（x）存在兩個零點x₁，x₂；
②不妨設x₁＞x₂，
由題意得 $\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{n}-l{nx}_{1}=1①}\\{{{x}_{2}}^{n}-l{nx}_{2}=1②}\end{array}\right.$，
①-②得x₁ⁿ-x₂ⁿ=lnx₁-lnx₂，
①+②得x₁ⁿ+x₂ⁿ=ln（x₁x₂）+2
∴l(xiāng)n（x₁x₂）+2=$\frac{（l{nx}_{1}-l{nx}_{2}）{{（x}_{1}}^{n}{{+x}_{2}}^{n}）}{{{{{x}_{1}}^{n}-x}_{2}}^{n}}$，
設t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，
則ln（x₁x₂）=（lnt）•$\frac{{t}^{n}+1}{{t}^{n}-1}$-2，欲證明x₁x₂＞${e}^{\frac{2}{n}-2}$，
則只需要證明ln（x₁x₂）＞$\frac{2}{n}$-2，
即證（lnt）•$\frac{{t}^{n}+1}{{t}^{n}-1}$-2＞$\frac{2}{n}$-2，
即（lnt）•$\frac{{t}^{n}+1}{{t}^{n}-1}$＞$\frac{2}{n}$，即lnt＞$\frac{2}{n}$•$\frac{{t}^{n}-1}{{t}^{n}+1}$，
設g（t）=lnt-$\frac{2}{n}$•$\frac{{t}^{n}-1}{{t}^{n}+1}$，（t＞1），
則g′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{2}{t}$$\frac{2{nt}^{n}-1}{{{（t}^{n}+1）}^{2}}$=$\frac{{{（t}^{n}-1）}^{2}}{{t{（t}^{n}+1）}^{2}}$＞0，
∴g（t）在（1，+∞）上遞增，
∴g（t）＞g（1）=0，
∴l(xiāng)nt＞$\frac{2}{n}$•$\frac{{t}^{n}-1}{{t}^{n}+1}$，
∴（lnt）•$\frac{{t}^{n}+1}{{t}^{n}-1}$＞$\frac{2}{n}$，
∴x₁x₂＞${e}^{\frac{2}{n}-2}$．

點評 本題主要考查函數(shù)的極值和導數(shù)的關系以及利用導數(shù)證明不等式，綜合性較強，難度較大．