Question

1．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）對任意實數(shù)x，都有f（x）≥x，且當x∈[1，3）時，有$f（x）≤\frac{1}{8}{（x+2）^2}$成立．
（1）證明：f（2）=2；
（2）若f（-2）=0，求f（x）的表達式；
（3）在題（2）的條件下設(shè)g（x）=f（x）-$\frac{mx}{2}$，x∈[0，+∞），若g（x）圖象上的點都位于直線y=$\frac{1}{4}$的上方，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=2，求得f（2）≥2，且f（2）≤2，即可得證；
（2）由f（-2）=0，f（2）=2，求得b=$\frac{1}{2}$，4a+c=1即c=1-4a，再由二次不等式恒成立的條件為a＞0，判別式非正，即可得到a，c，進而得到解析式；
（3）g（x）=f（x）-$\frac{mx}{2}$=$\frac{1}{8}$（x+2）²-$\frac{mx}{2}$，討論x=0，x＞0，不等式恒成立，注意運用參數(shù)分離和基本不等式求得最小值，即可得到m的范圍．

解答 解：（1）證明：由題意可得f（2）≥2，且f（2）≤$\frac{1}{8}$（2+2）²=2，
即有f（2）=2；
（2）由f（-2）=0，可得4a-2b+c=0，
f（2）=2，即為4a+2b+c=2，
兩式相減可得，b=$\frac{1}{2}$，4a+c=1即c=1-4a，
f（x）=ax²+$\frac{1}{2}$x+1-4a，
對任意實數(shù)x，都有f（x）≥x，即為
ax²-$\frac{1}{2}$x+1-4a≥0恒成立，即有a＞0，△=$\frac{1}{4}$-4a（1-4a）≤0，
即有（8a-1）²≤0，即有a=$\frac{1}{8}$，c=$\frac{1}{2}$，
則f（x）=$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$；
（3）g（x）=f（x）-$\frac{mx}{2}$=$\frac{1}{8}$（x+2）²-$\frac{mx}{2}$，
當x=0時，g（0）=$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{4}$成立；
當x＞0時，$\frac{1}{8}$（x+2）²-$\frac{mx}{2}$＞$\frac{1}{4}$，
即有4m＜$\frac{{x}^{2}+4x+2}{x}$=x+$\frac{2}{x}$+4，
由x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$=2$\sqrt{2}$，當且僅當x=$\sqrt{2}$時，取得最小值．
即有4m＜2$\sqrt{2}$+4，
解得m＜1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
綜上可得，m的范圍是（-∞，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，注意運用二次不等式恒成立的條件，同時考查不等式恒成立的解法，注意運用參數(shù)分離和基本不等式，屬于中檔題．