Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點(diǎn)（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)不過原點(diǎn)O的直線l：y=kx+m（k≠0），與該橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，直線OP、OQ的斜率一次為k₁、k₂，滿足4k=k₁+k₂．
（i）當(dāng)k變化時(shí)，m²是否為定值？若是，求出此定值，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說明理由；
（ii）求△OPQ面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題設(shè)條件，設(shè)c=$\sqrt{3}$k，a=2k，則b=k，利用待定系數(shù)法能求出橢圓方程．
（Ⅱ）（i）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、斜率性質(zhì)，結(jié)合已知條件推導(dǎo)出當(dāng)k變化時(shí)，m²是定值$\frac{1}{2}$．
②利用橢圓弦長(zhǎng)公式，結(jié)合已知條件能求出△OPQ面積的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題設(shè)條件，設(shè)c=$\sqrt{3}$k，a=2k，則b=k，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4{k}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{k}^{2}}$=1，
把點(diǎn)（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入，得k²=1，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（Ⅱ）（i）當(dāng)k變化時(shí)，m²是定值$\frac{1}{2}$．
證明如下：
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
∴x1+x2=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$．
∵直線OP，OQ的斜率依次為k₁，k₂，
∴4k=k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{k{x}_{1}+m}{{x}_{1}}+\frac{k{x}_{2}+m}{{x}_{2}}$，
∴2kx₁x₂=m（x₁+x₂），由此解得m2=$\frac{1}{2}$，驗(yàn)證△＞0成立．
∴當(dāng)k變化時(shí)，m²是定值$\frac{1}{2}$．
②S_△OPQ=$\frac{1}{2}$|x₁-x₂|•|m|=$\frac{\sqrt{8{k}^{2}+1}}{1+4{k}^{2}}$，令$\sqrt{8{k}^{2}+1}$=t＞1，
得S_△OPQ=$\frac{2t}{{t}^{2}+1}$=$\frac{2}{t+\frac{1}{t}}$＜1，
∴△OPQ面積的取值范圍S_△OPQ∈（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查實(shí)數(shù)值是否為實(shí)數(shù)的判斷與證明，考查三角形面積的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、斜率性質(zhì)的合理運(yùn)用．