Question

5．已知函數(shù)f（x）=|x|+$\frac{m}{x}$-1，其中m∈R；
（1）當m=2時，判斷f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調(diào)性，并用定義證明；
（2）討論函數(shù)f（x）零點的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）當m=2時，求出函數(shù)f（x）的表達式，結合函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明即可．
（2）利用參數(shù)轉化法進行轉化，構造函數(shù)，利用數(shù)形結合進行求解即可．

解答 解：（1）當m=2時，f（x）=|x|+$\frac{2}{x}$-1，
當x＜0時，f（x）=-x+$\frac{2}{x}$-1，
設x₁＜x₂＜0，
則f（x₁）-f（x₂）=-x₁+$\frac{2}{{x}_{1}}$-1-（-x₂+$\frac{2}{{x}_{2}}$-1）=x₂-x₁+$\frac{2}{{x}_{1}}$-$\frac{2}{{x}_{2}}$=（x₂-x₁）$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+2}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₁＜x₂＜0，∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，則f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調(diào)遞減；
（2）由f（x）=|x|+$\frac{m}{x}$-1=0，則$\frac{m}{x}$=1-|x|，
即m=x（1-|x|），（x≠0），
設h（x）=x（1-|x|）=$\left\{\begin{array}{l}{x（1-x），}&{x＞0}\\{x（1+x），}&{x＜0}\end{array}\right.$，
作出函數(shù)h（x）的圖象如圖：
由圖象得到當m＞$\frac{1}{4}$或m＜-$\frac{1}{4}$時，m=h（x）有1個零點，
當m=-$\frac{1}{4}$或$\frac{1}{4}$或0時，m=h（x）有2個零點，
當-$\frac{1}{4}$＜m＜0或0＜m＜$\frac{1}{4}$時，m=h（x）有3個零點．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明以及函數(shù)零點個數(shù)的判斷，利用參數(shù)分離法結合數(shù)形結合是解決本題的關鍵．綜合性較強．