Question

12．已知函數(shù)f（x）=Asin（x+φ）（A＞0且ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象，如圖所示．
（1）求函數(shù)解析式；
（2）若方程f（x）=a，在（0，$\frac{5π}{3}$）上有兩個(gè)不同的實(shí)根，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知中的圖象分析出函數(shù)的周期，可得ω值；分析出最值，可得A值；
方法一：分析出函數(shù)圖象由y=sin x的圖象沿x軸負(fù)方向平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位得到的，可得φ值；
方法二：由圖象知f（x）過點(diǎn)（-$\frac{π}{3}$，0）點(diǎn)，0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得φ值；
（2）方程f（x）=a，在（0，$\frac{5π}{3}$）上有兩個(gè)不同的實(shí)根等價(jià)于y=f（x）的圖象和直線y=a在（0，$\frac{5π}{3}$）上有兩個(gè)交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中作出y=f（x）在（0，$\frac{5π}{3}$）上的圖象和直線y=a，數(shù)形結(jié)合，可得a的取值范圍．

解答 解：（1）由圖象易知函數(shù)f（x）的周期為T=4（$\frac{7π}{6}-\frac{2π}{3}$）=2π，ω＞0，
所以ω=1．
由函數(shù)的最大值為1，最小值為-1，A＞0，
所以A=1，
方法一：
由圖可知此函數(shù)的圖象是由y=sin x的圖象沿x軸負(fù)方向平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位得到的，
故φ=$\frac{π}{3}$，
其函數(shù)解析式為f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）．
方法二：
由圖象知f（x）過點(diǎn)（-$\frac{π}{3}$，0）點(diǎn)，
則sin（-$\frac{π}{3}$+φ）=0，
∴-$\frac{π}{3}$+φ=kπ，k∈Z．
∴φ=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
又∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）．
（2）方程f（x）=a，在（0，$\frac{5π}{3}$）上有兩個(gè)不同的實(shí)根等價(jià)于
y=f（x）的圖象和直線y=a在（0，$\frac{5π}{3}$）上有兩個(gè)交點(diǎn)，
在同一坐標(biāo)系中作出y=f（x）在（0，$\frac{5π}{3}$）上的圖象和直線y=a如下圖所示：

由f（0）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{5π}{3}$）=0，
故a∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）∪（-1，0）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，集合的性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．