Question

14．已知拋物線C：x²=4y，過點(diǎn)P（0，m）（m＞0）的動(dòng)直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，拋物線C在點(diǎn)A和點(diǎn)B處的切線相交于點(diǎn)Q，直線AQ，BQ與x軸分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（Ⅰ）寫出拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）求證：點(diǎn)Q在直線y=-m上；
（Ⅲ）判斷是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PEQF為矩形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接根據(jù)拋物線的定義即可求出拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）由題意，知直線l的斜率存在，故設(shè)l的方程為y=kx+m，構(gòu)造方程組，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系和導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到拋物線在點(diǎn)A，B處的切線方程，得到x=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂），代入即可證明；
（Ⅲ）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得四邊形PEQF為矩形，由四邊形PEQF為矩形，得EQ⊥FQ，AQ⊥BQ，根據(jù)直線的斜率得到P（0，1），再利用斜率相等驗(yàn)證PEQF為平行四邊形即可．

解答 （Ⅰ）解：焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），準(zhǔn)線方程為Y=-1．…（2分）
（Ⅱ）證明：由題意，知直線l的斜率存在，故設(shè)l的方程為y=kx+m．
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$  得x²-4kx-4m=0，
由題意，得△=16k²+16m＞0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，…（4分）
由拋物線方程x²=4y，得y=$\frac{1}{4}$x²，所以y′=$\frac{1}{2}$x，
所以拋物線在點(diǎn)A處的切線方程為y-$\frac{1}{4}{x}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），
化簡，得y=$\frac{1}{2}$x₁x-$\frac{1}{4}{x}_{1}^{2}$
同理，拋物線在點(diǎn)B處的切線方程為y=$\frac{1}{2}$x₂x-$\frac{1}{4}{x}_{2}^{2}$    …（6分）
聯(lián)立方程，得$\frac{1}{2}$x₁x-$\frac{1}{4}{x}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}$x₂x-$\frac{1}{4}{x}_{2}^{2}$    
即$\frac{1}{2}$（x₁-x₂）x=$\frac{1}{4}$（x₁-x₂）（x₁+x₂），
因?yàn)閤₁≠x₁，所以x=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂），
代入，得y=$\frac{1}{4}$x₁x₂=-m，
所以點(diǎn)Q（$\frac{1}{2}$（x₁+x₂），-m），即Q（2k，-m）
點(diǎn)Q在直線y=-m上．…（8分）
（Ⅲ）解：假設(shè)存在點(diǎn)P，使得四邊形PEQF為矩形，
由四邊形PEQF為矩形，得EQ⊥FQ，AQ⊥BQ
∴k_AQ•k_BQ=-1，$\frac{1}{2}$x₁$•\frac{1}{2}$x₂=-1，
∴$\frac{1}{4}$x₁x₂=$\frac{1}{4}$（-4m）=-1，
∴m=1，P（0，1）
下面驗(yàn)證此時(shí)的四邊形PEQF為平行四邊形即可．
令y=0，得E（$\frac{1}{2}$x₁，0）．
同理得F（$\frac{1}{2}$x₂，0）．
所以直線EP的斜率為k_EP=$\frac{1-0}{0-\frac{1}{2}{x}_{1}}$=$\frac{-2}{{x}_{1}}$，
直線FQ的斜率k_FQ=$\frac{0-（-1）}{\frac{1}{2}{x}_{2}-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$=$\frac{-2}{{x}_{1}}$，…（12分）
所以k_EP=k_FQ，即EP∥FQ．
同理PF∥EQ．所以四邊形PEQF為平行四邊形．
綜上所述，存在點(diǎn)P（0，1），使得四邊形PEQF為矩形．…（14分）

點(diǎn)評 本題考查直線、拋物線等基礎(chǔ)知識，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，抽象思維能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題．