Question

4．過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點的直線l與圓x²+y²=a²相切，且l與雙曲線的右支有公共點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 求出直線l的斜率為±$\frac{a}$，利用雙曲線的漸近線的斜率為±$\frac{a}$，l與雙曲線的右支有公共點，可得$\frac{a}$＜$\frac{a}$，由此可求雙曲線的離心率的取值范圍．

解答 解：∵過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點的直線l與圓x²+y²=a²相切，
∴直線l的斜率為±$\frac{a}$，
∵雙曲線的漸近線的斜率為±$\frac{a}$，l與雙曲線的右支有公共點，
∴$\frac{a}$＜$\frac{a}$，
∴a＜b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$＞$\sqrt{2}$，
故答案為：（$\sqrt{2}$，+∞）．

點評 本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運用轉(zhuǎn)化思想和雙曲線的基本量的關(guān)系，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．