Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

1

2

（n²+n）
（1）求通項(xiàng)a_n．
（2）若b_n=

1

an•an+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由數(shù)列的前n項(xiàng)和分類求得首項(xiàng)和a_n=S_n-S_n-1=n．驗(yàn)證a₁后得答案；
（2）把數(shù)列通項(xiàng)a_n代入b_n=

1

an•an+1

，然后利用裂項(xiàng)相消法求和．

解答： 解：（1）由S_n=

1

2

（n²+n），
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n．
驗(yàn)證n=1滿足上式，
∴a_n=n；
（2）b_n=

1

an•an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Tn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．