Question

已知銳角三角形△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，tanB=

3 ac

a2+c2-b2

．
（1）求sin（B+10°）[1-

3

tan（B-10°）]的值；
（2）若b=1，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）通過余弦定理及已知條件，求的sinB的值，又因在三角形內(nèi)，進而求出B．利用切化弦求出結(jié)果即可．
（2）通過正弦定理求出a+c的表達式，然后求解范圍即可．

解答： 解：（1）銳角三角形△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，tanB=

3 ac

a2+c2-b2

．
∴sinB=

3

2

∴B=60°，
sin（B+10°）[1-

3

tan（B-10°）]=sin70°[1-

3

tan50°]
=sin70°[1-

3

sin50°

cos50°

]=sin70°[

cos50°- 3 sin50°

cos50°

]
=-2sin70°

sin20°

cos50°

=-

sin40°

cos50°

=-1．
（2）由正弦定理可知a+c=

2 3

3

sinA+

2 3

3

sinC=

2 3

3

sinA+

2 3

3

sin(

2π

3

-A)=

2 3

3

(

3

2

sinA+

3

3

cosA)=2sin(A+

π

6

)，
∵A∈(0，

π

2

)，

2π

3

-A∈(0，

π

2

)．∴A∈(

π

6

，

π

2

)，
∴A+

π

6

∈(

π

3

，

2π

3

)
因此a+c=2sin(A+

π

6

)∈(

3

，2]，∴a+b+c∈（1+

3

，3]        …（14分）

點評：本題主要考查余弦定理及三角中的切化弦．很多人會考慮對于角B的取舍問題，而此題兩種都可以，因為我們的過程是恒等變形．條件中也沒有其它的限制條件，所以有的同學就多慮了．雖然此題沒有涉及到取舍問題，但在平時的練習過程中一定要注意此點