Question

已知函數f（x）=

1

x

-log₂

1+x

1-x

（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（3）求證：f（x）在（0，1）內是減函數，并求使關系式f（x）＜f(

1

2

)成立的實數x的取值范圍．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數的定義域及其求法

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）由分母不為0，對數的真數大于0，解不等式即可得到定義域；
（2）判斷定義域是否關于原點對稱，計算f（-x），與f（x）比較，即可判斷奇偶性；
（3）運用單調性的定義證明，注意作差、變形和定符號、及下結論幾個步驟，再由單調性，解不等式即可得到所求范圍．

解答： （1）解：由x≠0，且

1+x

1-x

＞0，
解得-1＜x＜1且x≠0，
則定義域為（-1，0）∪（0，1）；
（2）f（x）為奇函數，
理由如下：定義域關于原點對稱，
f（-x）=-

1

x

-log₂

1-x

1+x

=-

1

x

+log₂

1+x

1-x

=-（

1

x

-log₂

1+x

1-x

）=-f（x），
則f（x）為奇函數；
（3）證明：設0＜m＜n＜1，
f（m）-f（n）=

1

m

-log₂

1+m

1-m

-（

1

n

-log₂

1+n

1-n

）=

n-m

mn

+log₂

1+n

1-n

-log₂

1+m

1-m

=

n-m

mn

+log₂

(1+n)(1-m)

(1-n)(1+m)

，
由于

(1+n)(1-m)

(1-n)(1+m)

-1=

2(n-m)

(1-n)(1+m)

，且0＜m＜n＜1，
則log₂

(1+n)(1-m)

(1-n)(1+m)

＞log₂1=0，

n-m

mn

＞0，
即有f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n），
則f（x）為（0，1）上的減函數．
由奇函數的性質可得f（x）在（-1，0）也為減函數．
由f（x）＜f(

1

2

)，則為0＜x＜1，且x＞

1

2

，
解得

1

2

＜x＜1，
則所求的取值范圍是（

1

2

，1）．

點評：本題考查函數的奇偶性和單調性的判斷和運用，考查運算能力，屬于中檔題．