Question

給出下列命題：
①函數(shù)y=sin（

3

2

π+x）是偶函數(shù)；
②函數(shù)y=cos（2x+

π

4

）圖象的一條對稱軸方程為x=

π

8

；
③對于任意實數(shù)x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0時，f′（x）＞0，g′（x）＞0，則x＜0時，f′（x）＞g′（x）；
④若對?x∈R函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=-f（x），則4是該函數(shù)的一個周期．
其中真命題的個數(shù)為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)誘導(dǎo)公式和余弦函數(shù)的奇偶性，可判斷①；根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性，可判斷②；根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)相反，及導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，可判斷③；根據(jù)函數(shù)周期性的定義可判斷④

解答： 解：函數(shù)y=sin（

3

2

π+x）=-cosx，滿足f（-x）=f（x）為偶函數(shù)，故①正確；
由2x+

π

4

=kπ，k∈Z得：x=

kπ

2

-

π

8

，k∈Z，故函數(shù)y=cos（2x+

π

4

）圖象的一條對稱軸方程為

kπ

2

-

π

8

，k∈Z，故②錯誤；
由已知可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0，g′（x）＞0，函數(shù)f（x），g（x）均為均函數(shù)，
故x＜0時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，g（x）為減函數(shù)，故f′（x）＞0，g′（x）＜0，即f′（x）＞g′（x），故③正確；
若f（x+2）=-f（x），則f（x+4）=-f[（x+2）]=f（x），即4是該函數(shù)的一個周期，
故答案為：①③④

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，對稱性，單調(diào)性，周期性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．