Question

17．如果函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{3}$sin2x+asinx在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． [-1，$\frac{1}{3}$]
• B． [-1，1]
• C． [-$\frac{1}{3}$，+∞）
• D． [-$\frac{4}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 由求導(dǎo)公式和法則求出f′（x），由題意可得f′（x）≥0在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上恒成立，設(shè)t=cosx（0≤t≤1），化簡(jiǎn)得5-4t²+3at≥0，對(duì)t分t=0、0＜t≤1討論，分離出參數(shù)a，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求出最值，由恒成立求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由題意得，f′（x）=1-$\frac{2}{3}$cos2x+acosx，
∵函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{3}$sin2x+asinx在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上遞增，
∴函數(shù)f′（x）≥0在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上恒成立，
則1-$\frac{2}{3}$cos2x+acosx≥0，即$\frac{5}{3}$-$\frac{4}{3}$cos²x+acosx≥0，
設(shè)t=cosx（0≤t≤1），即有5-4t²+3at≥0，
當(dāng)t=0時(shí)，不等式顯然成立；
當(dāng)0＜t≤1時(shí)，3a≥4t-$\frac{5}{t}$，
∵y=4t-$\frac{5}{t}$在（0，1]遞增，∴t=1時(shí)，取得最大值-1，
即3a≥-1，解得a≥$-\frac{1}{3}$，
綜上可得a的范圍是[$-\frac{1}{3}，+∞$）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，不等式恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，注意運(yùn)用參數(shù)分離和換元法，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．