Question

9．已知$\overrightarrow{a}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinx，2cosx），$\overrightarrow$=（3，-$\frac{1}{2}$），x∈R．
（1）若f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，試求f（x）的值域；
（2）若x=$\frac{π}{3}$，且滿足2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$λ\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$相互垂直，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及輔助角公式，即可求得f（x）的解析式，由正弦函數(shù)性質(zhì)即可求得f（x）的值域；
（2）當(dāng)x=$\frac{π}{3}$，代入求得$\overrightarrow{a}$，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別求得2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$λ\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，利用向量垂直的定義，代入即可求得λ的值．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinx×3+2cosx×（-$\frac{1}{2}$）
=$\sqrt{3}$sinx-cosx，
=2sin（x-$\frac{π}{6}$），
由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知：-1≤sin（x-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴-2≤sin（x-$\frac{π}{6}$）≤2，
f（x）的值域[-2，2]；
（2）當(dāng)x=$\frac{π}{3}$，$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{2}$，1），
∴2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（-2，$\frac{5}{2}$）
$λ\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（$\frac{λ+6}{2}$，$\frac{2λ-1}{2}$），
∵（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥（$λ\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），
∴（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$λ\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=0，
$\frac{λ+6}{2}$×（-2）+$\frac{2λ-1}{2}$×$\frac{5}{2}$=0，
解得：λ=$\frac{29}{6}$，
λ的值$\frac{29}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，三角恒等變換，向量垂直的定義，考查綜合分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．