Question

2．“開門大吉”是某電視臺(tái)推出的游戲節(jié)目．選手面對(duì)1～8號(hào)8扇大門，依次按響門上的門鈴，門鈴會(huì)播放一段音樂（將一首經(jīng)典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹），選手需正確回答出這首歌的名字，方可獲得該扇門對(duì)應(yīng)的家庭夢(mèng)想基金．在一次場(chǎng)外調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)參賽選手多數(shù)分為兩個(gè)年齡段：20～30；30～40（單位：歲），其猜對(duì)歌曲名稱與否的人數(shù)如圖所示．
（1）寫出2×2列聯(lián)表；判斷是否有90%的把握認(rèn)為猜對(duì)歌曲名稱是否與年齡有關(guān)；說(shuō)明你的理由；（下面的臨界值表供參考）
 

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.005
k0	2.706	3.841	6.635	7.879

（2）現(xiàn)計(jì)劃在這次場(chǎng)外調(diào)查中按年齡段用分層抽樣的方法選取6名選手，并抽取2名幸運(yùn)選手，求2名幸運(yùn)選手中在20～30歲之間的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d為樣本容量）

Answer 1

分析 （1）利用已知條件直接列出聯(lián)列表，利用獨(dú)立檢驗(yàn)公式求出k，然后推出對(duì)歌曲名稱與否和年齡有關(guān)判斷．
（2）設(shè)2名選手中在20～30歲之間的人數(shù)為ξ，可能取值為0，1，2，20～30歲之間的人數(shù)是2人，求出概率，列出分布列，求解期望即可．

解答 解：（1）

年齡/正誤	正確	錯(cuò)誤	合計(jì)
20～30	10	30	40
30～40	10	70	80
合計(jì)	20	100	120

K²=$\frac{120（70×10-30×10）^{2}}{20×100×40×80}$=3＞2.706
有90%的把握認(rèn)為猜對(duì)歌曲名稱與否和年齡有關(guān)．
（2）設(shè)2名選手中在20～30歲之間的人數(shù)為ξ，可能取值為0，1，2，
20～30歲之間的人數(shù)是2人，
∴P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

E（ξ）=0×$\frac{2}{5}$+1×$\frac{8}{15}$+2×$\frac{1}{15}$=$\frac{2}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查獨(dú)立檢驗(yàn)的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，考查計(jì)算能力．