Question

6．求y=（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）²-2log${\;}_{\frac{1}{2}}$x的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 令t=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，可得y=t²-2t=（t-1）²-1．再利用對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，求得函數(shù)y的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：令t=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，可得y=t²-2t=（t-1）²-1．
由于函數(shù)t在（0，+∞）上是減函數(shù)，關(guān)于t的二次函數(shù)y的圖象的對稱軸為t=1，
故在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$）上，t∈（1，+∞），函數(shù)y=（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）²-2log${\;}_{\frac{1}{2}}$x為減函數(shù)；
在[$\frac{1}{2}$，+∞），t∈（-∞，1]，函數(shù)y=（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）²-2log${\;}_{\frac{1}{2}}$x為增函數(shù)，
故函數(shù)y的減區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$），增區(qū)間為[$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題主要考查復合函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．