Question

11．某重點(diǎn)高中擬把學(xué)校打造成新型示范高中，為此制定了很多新的規(guī)章制度，新規(guī)章制度實(shí)施一段時(shí)間后，學(xué)校就新規(guī)章制度的認(rèn)知程度隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，調(diào)查卷共有20個(gè)問題，每個(gè)問題5分，調(diào)查結(jié)束后，發(fā)現(xiàn)這100名學(xué)生的成績(jī)都在[75，100]內(nèi)，按成績(jī)分成5組：第1組[75，80），第2組[80，85）第3組[85，90），第4組[90，95），第5組[95，100]，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知甲、乙、丙上分別在第3，4，5組，現(xiàn)在用分層抽樣的方法在第3，4，5組共選取6人對(duì)新規(guī)取章制度作深入學(xué)習(xí)．
（1）求這100人的平均得分（同-組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
（2）求第3，4，5組分別選取的人數(shù)；
（3）若甲、乙、丙都被選取對(duì)新規(guī)章制度作深人學(xué)習(xí)，之后要從這6人隨機(jī)選取人2再全面考查他們對(duì)新規(guī)章制度的認(rèn)知程度，求甲、乙、丙這3人至多有一人被選取的概率．

Answer 1

分析 （1）利用頻率分布直方圖能求出這100人的平均得分．
（2）第3組的人數(shù)為30，第4組的人數(shù)為20，第5組的人數(shù)為10，共有60人，由此能示出用分層抽樣在這三個(gè)組選取的人數(shù)．
（3）記其他人為、丁、戊、己，利用列舉法能求出甲、乙、丙這3人至多有一人被選取的概率．

解答 解：（1）這100人的平均得分為：
$\overline x=5×（{\frac{75+80}{2}×0.01+\frac{80+85}{2}×0.07+\frac{85+90}{2}×0.06+\frac{90+95}{2}×0.04+\frac{95+100}{2}×0.02}）=87.25$．
（2）第3組的人數(shù)為0.06×5×100=30，
第4組的人數(shù)為0.04×5×100=20，
第5組的人數(shù)為0.02×5×100=10，故共有60人，
∴用分層抽樣在這三個(gè)組選取的人數(shù)分別為：3，2，1．
（3）記其他人為、丁、戊、己，
則所有選取的結(jié)果為（甲、乙）、（甲、丙）、（甲、丁）、（甲、戊）、（甲、己）、
（乙、丙）、（乙、�。�、（乙、戊）、（乙、己 ）、（丙、�。�、（丙、戊）、（丙、己）、
（丁、戊）、（丁、己 ）、（戊、己）共15種情況，
其中甲、乙、丙這3人至多有一人被選取有12種情況，
故甲、乙、丙這3人至多有一人被選取的概率為$P=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖、分層抽樣、古典概型等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是列出所有可能的組合，再去根據(jù)相關(guān)的定義和公式進(jìn)行求解和計(jì)算．