Question

17．已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項a₁=1，公比q＞0，其前n項和為S_n，且S₁+a₁，S₃+a₃，S₂+a₂成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}、{c_n}滿足$\frac{_{n}}{n+2}=-lo{g}_{2}{a}_{n+1}$，且b_n•c_n=1，令T_n為數(shù)列{c_n}的前n項和，若T_n≥m恒成立，求m的最大值．

Answer 1

分析 （1）由于S₁+a₁，S₃+a₃，S₂+a₂成等差數(shù)列，可得2（S₃+a₃）=S₂+a₂+S₁+a₁．解得q，可得a_n．
（2）數(shù)列{b_n}、{c_n}滿足$\frac{_{n}}{n+2}$=-log₂a_n+1=n，b_n=n（n+2）．由于b_n•c_n=1，可得c_n=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．再利用“裂項求和”與數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵S₁+a₁，S₃+a₃，S₂+a₂成等差數(shù)列，∴2（S₃+a₃）=S₂+a₂+S₁+a₁．
∴4a₃=a₁=1，∴q²=$\frac{1}{4}$，公比q＞0，解得q=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
（2）數(shù)列{b_n}、{c_n}滿足$\frac{_{n}}{n+2}$=-log₂a_n+1=n，
∴b_n=n（n+2）．
∵b_n•c_n=1，
∴c_n=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}$$（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$．
∵T_n≥m恒成立，
∴m≤T₁=$\frac{1}{3}$．
∴m的最大值為$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．