Question

17．已知P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓C：x²+y²-2x-2y+1=0的兩條切線，A、B是切點(diǎn)．
（1）若P（0，-2），求PA、PB的方程．
（2）直線上是否存在點(diǎn)P，使∠BPA=60°，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求解；
（2）假設(shè)存在一點(diǎn)使∠BPA=60°，此時(shí)∠CPA=30，根據(jù)直角三角形性質(zhì)可知，圓心到直線上P（x，y）點(diǎn)距離為半徑2倍，也就是2，可見(jiàn)它小于圓心到直線的最短距離3，可得結(jié)論．

解答 解：（1）圓C：x²+y²-2x-2y+1=0，可化為（x-1）²+（y-1）²=1，表示以C（1，1）為圓心，以1為半徑的圓．
∵P（0，-2），
∴PB的方程為x=0；
設(shè)PA的方程為y=kx-2，即kx-y-2=0，
圓心到直線的距離d=$\frac{|-k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴k=-$\frac{4}{3}$，∴PA的方程為y=-$\frac{4}{3}$x-2；
（2）假設(shè)存在一點(diǎn)使∠BPA=60°，此時(shí)∠CPA=30，根據(jù)直角三角形性質(zhì)可知，圓心到直線上P（x，y）點(diǎn)距離為半徑2倍，也就是2，可見(jiàn)它小于圓心到直線的最短距離3，因此該點(diǎn)不存在．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，判斷故當(dāng)PC最小時(shí)，四邊形PACB面積最小，是解題的關(guān)鍵．